Reflexões… :: Relações cromáticas e temperadas

23 de Abril, 2018
Um hipopótamo num campo de flores.
𝄞

Aprendemos que as relações entre os graus de uma escala precisam ser números racionais para serem agradáveis, mas isso não é bem uma verdade.

Um exemplo de como isso causa erros é a sobreposição de quintas: sobrepondo as frequências de 3/2 – c, g, d, a… até fazer a volta e cair de volta no c: quando chegamos ao c sete oitavas acima não temos uma frequência 128 (27) vezes maior, mas 129,75 vezes maior.

Algo similar acontece para os intervalos de quarta: em vez de chegarmos a 32 (25) vezes, chegamos a 31,57.

Outros problemas de distorção de frequência acontecem simplesmente modulando o tom de uma música. Por exemplo, a segunda do d (9/8 × 9/8) é e, cuja relação com c deveria ser 5/4, mas o resultado é 81/64.

Além dessas inconsistências, ainda temos as diferenças cromáticas entre notas similares, como as (a) e gis (g), que diferem em uma coma pitagórica (81/80).

Todos esses problemas ocorrem nas escalas cromáticas, que são aquelas que se baseiam em intervalos racionais simples.

Intervalos temperados

Para resolver isso, a escala de intervalos temperados usa relações irracionais entre os graus. Todos os intervalos são representados na forma de 2n/12, sendo n um número inteiro entre 0 e 11, inclusive, exatamente os códigos usados para os graus no Serialismo Dodecafônico.

Essas relações irraciais fazem com que as frequências dos graus nunca divirjam.

Assim a sobreposição de quintas por sete oitavas chega exatamente a 128 (27 ou 284/12); a sobreposição de quartas por cinco oitavas chega exatamente a 32 (25 ou 260/12); a segunda da segunda (22/12 × 22/12) é exatamente a terça (24/12); e assim por diante.

As relações são todas irracionais, porém próximas o bastante de relações racionais simples para soarem agradáveis:

GrauCromáticaTemperadaISO 16:1975
0c11,000020/12201,0000261,626Hz
1des / cis--21/1221/121,0595277,183Hz
2d9/81,125022/1221/61,1225293,665Hz
3es / dis--23/1221/41,1892311,127Hz
4e5/41,250024/1221/31,2599329,628Hz
5f4/31,333325/1225/121,3348349,228Hz
6ges / fis--26/1221/21,4142369,994Hz
7g3/21,500027/1227/121,4983391,995Hz
8as / gis--28/1222/31,5874415,305Hz
9a5/31,666729/1223/41,6818440,000Hz
10b / ais--210/1225/61,7818466,168Hz
11h15/81,8750211/12211/121,8877493,883Hz
0c22,0000212/12212,0000523,251Hz

Educação e Cultura | Música